Teorema de los números cuadrados

Hoy tengo ganas de demostraciones matemáticas.
Toca el desarrollo en un polinomio de Taylor del cuadrado de cualquier número natural.
Para quienes no lo sepáis, el polinomio de Taylor, o desarrollo en serie de Taylor, consiste en aproximar un polinomio f(x) en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) (d, amplitud, representa el conjunto de valores muy próximos que se toma alrededor de a ) mediante un polinomio de grado prefijado.
Para saber más de este gran descubrimiento matemático, podéis consultar aquí y también aquí.

Bien, aquí va la demostración de que el cuadrado de un número natural es igual a la suma de la cantidad de impares igual al valor del número que estamos elevando al cuadrado.

Es decir,

Un ejemplo, el cuadrado de 5. El número 5 al cuadrado, como todos sabemos es 25. Pues bien, podríamos descomponerlo en la suma de los cinco primeros números impares. Es decir, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 es igual a 25, que es el cuadrado de 5.

Otro artículo por cortesía de Gaussianos.

Calculo de la raíz cuadrada

¿Os acordáis cuándo de pequeños (los que hemos hecho EGB, supongo que en la ESO también lo enseñan) nos enseñaron a hacer raíces cuadradas sin calculadora?
Diréis, que cosa más estúpida con las bonitas calculadoras, eurocalculadoras, calculadoras cinetíficas, y botes de melocotón en almíbar que hay. Pero creo que se está perdiendo la agilidad mental.
Por eso hoy os voy a poner el método tradicional y amanuense de calcular raíces cuadradas (sin calculadora):

Para explicaros el método, voy a usar un ejemplo e iré explicando paso a paso lo que se va haciendo:

El número elegido es el 46656.

1. Dividimos el número del que vamos a calcular la raíz cuadrado en pares de dígitos, empezando por los decimales (si los hubiera). O sea, empezando por el final: p.ej. 1225 sería “12″ “25″ no “1″ “22″ “5″; 6′5536 sería “6′” “55″ “36″ no “6′5″ “53″ “6″.
2. Una vez hecho esto pasamos a dibujar una barra horizontal por encima de los pares de dígitos y una barra vertical a la izquierda de éstos. Algo así:
   

   

3. Encontramos el número más grande cuyo cuadrado es menor o igual al primer par de dígitos. En nuestro ejemplo, el primer par de dígitos es “4″, y el número más grande cuyo cuadrado es menor o igual que “4″ es el “2″. Así que ponemos el número dos en el lado izquierdo, y encima del primer par de dígitos.Algo así:
   

   

4. Ahora elevamos al cuadrado al número encontrado en el anterior punto, y lo restamos al primer par de dígitos. Algo así:
   

   

5. Una vez hecho lo anterior, extendemos la barra izquierda y multiplicamos por dos el último dígito que está a la izquierda de dicha barra, y colocamos el resultado a la izquierda del resultado de la resta realizada en el punto anterior, dejando un espacio a la derecha del número que acabamos de colocar para las siguientes operaciones.
   

   

6. Bajamos el siguiente par de dígitos.
   

   

7. Buscamos el número más grande que colocado como unidad del número de la izquierda y multiplicado por sí mismo sea menor que el segundo par de dígitos. En nuestro ejemplo, probaríamos con 1 · 41 <= 66, 2 · 42 <= 66, como 2 · 42 no es menor que 66, entonces el número buscado es uno y cuarenta y uno. Gráficamente, sería algo así:
   

   

8. Ahora restamos el segundo par de dígitos con el producto que hemos encontrado en el anterior punto. En nuestro ejemplo, 66 - (1 · 41). Quedaría algo así:
   

   

9. Y ahora repetimos lo mismo que hicimos anteriormente, bajamos el siguiente par de dígitos de la derecha, multiplicamos el último dígito del número izquierdo por dos y buscamos el número más grande para restarselo al par de dígitos que tengamos a su altura. Sería algo así:
   

   

10. En este caso tenemos dos pares de dígitos, por tanto hay que buscar el número más grande cuyo producto de dicho número con su concatenación, sea menor o igual a los dos pares de dígitos concatenados. En nuestro ejemplo, 426 · 6 = 2556. Y pasaríamos a realizar la resta correspondiente, del siguiente modo:
    

    

11. Una vez lleguemos a una resta cuyo resultado sea cero, tendremos la raíz cuadrado exacta que estabamos buscando y habremos terminado. De otro modo, tendríamos que seguir buscando tantos decimales como queramos.

Sacado de este artículo en inglés traducido por Gaussianos.

Teorema de la Pizza

Mira, los de Gaussianos están haciéndome gracia últimamente:

Si P es una pizza de radio z y grosor a, entonces su volumen viene dado por la fórmula:

pizza

¿Se entiende? Si no es así igual ayuda saber que el volumen de un cilindro (una pizza es un cilindro) de radio r y altura h es:

Sustituyendo r por z y h por a nos queda el resultado comentado anteriormente.

Broma matemática

Navegando por mi Bloglines, me he encontrado este chiste matemático en Gaussianos, y me ha hecho bastante gracia (mira, tengo el día tonto).

Conversación de una pareja cualquiera en la que uno de los dos se dedica a las matemáticas:

-¿Amas a tus matemáticas más que a mi?
-Por supuesto que no, cariño. Te quiero mucho más a ti.
-Entonces, ¡demuéstralo!
-Vale… Sea R el conjunto de todos los objetos amorosos…

Viaje al interior de una célula

Navegando por el blog cosmicvariance he encontrado una increíble (aunque semi-realista) animación del interior de una célula. Es bastante impresionante

Celestia. Viajar por el universo sin salir de casa

Escuchando mentalmente: Así habló Zaratrusta by Richard Strauss

Navegando por la red me he encontrado con una página en la que han desarrollado un programilla que simula el viaje espacial alrededor del universo. Es el proyecto Celestia.
Lo he instalado ilusionado y me he quedado alucinado. Es espectacular. Hay todo tipo de datos y detalle. No es simplemente que te muestre el cielo como si fuera un planetario; adentrándome por la página he descubierto que te permite moverte y ver el universo desde cualquier punto entre los planetas y las estrellas. Hay más de 10Gb de add-ons creados por diferentes usuarios. Eso es debido a que el programa es open source, y cualquiera puede proponer nuevos planetas que se hayan encontrado, y de esta forma hacer el modelo más realista y exacto. Lo estoy provando y he flipado en colores.
Lo vuelvo a decir, es espectacular. Aquí pongo unas capturas.

La verdad es que a mi el tema de la astronomía me ha encantado desde siempre. Durante la carrera de telecomunicaciones, una de las asignaturas que cursé y más me gustó fue astronomía. Me encantaban las clases, y aprendí muchas cosas. Luego, a la hora de elegir proyecto de fin de carrera, estuve a punto de elegir uno de astronomía, pero al final me decanté por otra rama.
Es por eso que ahora que tengo la oportunidad de utilizar este programa voy a disfrutar como un enano.

Nada, espero que os guste tanto como a mí.